Cálculo Exemplos

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ movendo $\csc (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Etapa 3

Como o expoente $\csc (x) \ln (\sin (x))$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ se aproxima de $0$ .

$0$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ substituindo $π$ por $x$ .

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (π)$ em termos de senos e cossenos.

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

Etapa 5.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

Etapa 5.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

Etapa 5.5

Como $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 6

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$