Cálculo Exemplos

$lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{\cos (x) + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to π} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 3 \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $π$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{\cos^{2} (π) + 3 \cos (lim_{x \to π} x) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{\cos^{2} (π) + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{{(- \cos (0))}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 + 3 \cos (π) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1 + 3 (- \cos (0)) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 + 3 (- 1 \cdot 1) + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.7

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.1.2.8.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 3 \cdot - 1 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.1.7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 3 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} \cos (x) + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to π} x) + 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to π} \frac{\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2}{\cos (x) + 1} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.6

Some $- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) + 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x) + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $- \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to π} - 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{- lim_{x \to π} 2 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos (x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \sin (x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - lim_{x \to π} 3 \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to π} x) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie os limites substituindo $π$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (lim_{x \to π} x) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (π) - 3 \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (π) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{- 2 (- \cos (0)) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 2 (- 1 \cdot 1) \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.3

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1 \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cdot \sin (π) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{2 \cdot \sin (0) - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 3 \sin (π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.8

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.1.9

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.2.9.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to π} \sin (x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{- \sin (lim_{x \to π} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{0}{- \sin (π)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{- \sin (0)}$

Etapa 2.1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Etapa 2.1.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- \sin (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.8

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.3.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 2.3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{- \cos (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $π$ .

$\frac{- lim_{x \to π} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to π} \cos^{2} (x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 2 {(lim_{x \to π} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 2 \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 lim_{x \to π} \sin^{2} (x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.7

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 {(lim_{x \to π} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - lim_{x \to π} 3 \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.9

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 lim_{x \to π} \cos (x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Etapa 3.11

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- lim_{x \to π} \cos (x)}$

Etapa 3.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos^{2} (lim_{x \to π} x) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $π$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to π} x) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $π$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.9

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 \cos (π)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{- 2 + 0 - 3 (- \cos (0))}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.11

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 (- 1 \cdot 1)}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.12

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 5.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 0 - 3 \cdot - 1}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.12.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 0 + 3}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.13

Some $- 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 + 3}{- \cos (π)}$

Etapa 5.1.14

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{- \cos (π)}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{- - \cos (0)}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{- (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- - 1}$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$1$