Cálculo Exemplos

$lim_{z \to 8} {(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$ como $e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$ .

$lim_{z \to 8} e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})$ movendo $\frac{1}{z}$ para fora do logaritmo.

$lim_{z \to 8} e^{\frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $z$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $z$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{lim_{z \to 8} 1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $z$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + 3 z)}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $z$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Etapa 2.7

Mova o limite para o expoente.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{lim_{z \to 8} 2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Etapa 2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $z$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Etapa 2.9

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $z$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $z$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $z$ substituindo $8$ por $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $z$ substituindo $8$ por $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $z$ substituindo $8$ por $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 \cdot 8)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 3 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 24)}$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{8}$ e $\ln (e^{16} + 24)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Forma decimal:

$7.38905859 \dots$