Cálculo Exemplos

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Etapa 1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

Etapa 2.1.3

Reescreva $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

Etapa 2.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{h + 2}$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.1.5.1

Para escrever $\frac{1}{h + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(h + 2) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.1.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{h + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.3.3

Reordene os fatores de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.5

Reordene os termos.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.6

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.7

Para escrever $\frac{1}{h + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

Etapa 2.1.5.8

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Etapa 2.1.5.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(h + 2) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.1.5.9.1

Multiplique $\frac{1}{h + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Etapa 2.1.5.9.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Etapa 2.1.5.9.3

Reordene os fatores de $(h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Etapa 2.1.5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.5.11

Reescreva $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.5.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.5.11.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.5.11.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.5.11.4

Some $- h$ e $0$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 2.1.7.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ por $\frac{h}{2 (h + 2)}$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

Etapa 2.1.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

Etapa 2.1.7.4

Eleve $h + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

Etapa 2.1.7.5

Eleve $h + 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

Etapa 2.1.7.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

Etapa 2.1.7.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

Etapa 2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.3.2

Fatore $h$ de $- (h + 4) h$ .

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$