Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 1} x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 1.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1 + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 1^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 3 \cdot 1}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1 + 3}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 3.1.3

Some $1$ e $3$ .

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1.1

Reordene os termos.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 (x^{2}) + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva $4$ como $1$ mais $3$

$\frac{4}{{(3 x^{4} + (1 + 3) x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 1 x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4}{{((3 x^{4} + x^{2}) + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4}{{(x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1))}^{3}}$

Etapa 3.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{{((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}^{3}}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $(3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4}{{(3 x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}}$