Cálculo Exemplos

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (y^{2} + 2 y - 3)}{y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{y \to 1} (y - 1) (y^{2} + 2 y - 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - 1 \cdot lim_{y \to 1} y^{2} + 2 y - 3}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{(lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 1) \cdot lim_{y \to 1} y^{2} + 2 y - 3}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{(lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1) \cdot lim_{y \to 1} y^{2} + 2 y - 3}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{(lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{y \to 1} y^{2} + lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{(lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{y \to 1} y)}^{2} + lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{(lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{y \to 1} y)}^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{(lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{y \to 1} y)}^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{y \to 1} y)}^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.8.3

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(1 - 1) \cdot (1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 \cdot (1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0 \cdot (1 + 2 - 1 \cdot 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0 \cdot (1 + 2 - 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{0 \cdot (3 - 3)}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.5

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.2.9.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 1} y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 1} y^{2} - lim_{y \to 1} 2 y + lim_{y \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2} - lim_{y \to 1} 2 y + lim_{y \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{0}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2} - 2 lim_{y \to 1} y + lim_{y \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2} - 2 lim_{y \to 1} y + 1}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 lim_{y \to 1} y + 1}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (y^{2} + 2 y - 3)}{y^{2} - 2 y + 1} = lim_{y \to 1} \frac{\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + 2 y - 3)]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{y \to 1} \frac{\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + 2 y - 3)]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} + 2 y - 3$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y - 3] + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 2 y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2 + \frac{d}{d y} [- 3]) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2 + 0) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.9

Some $2 y + 2$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + (y^{2} + 2 y - 3) \frac{d}{d y} [y - 1]}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + (y^{2} + 2 y - 3) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + (y^{2} + 2 y - 3) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.12

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + (y^{2} + 2 y - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.13

Some $1$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + (y^{2} + 2 y - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.14

Multiplique $y^{2} + 2 y - 3$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y + 2) + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 1} \frac{(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 1} \frac{y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{y \to 1} \frac{y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.15.4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} - 2 y + y \cdot 2 - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} - 2 y + 2 \cdot y - 1 \cdot 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} - 2 y + 2 y - 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.8

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} + 0 - 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.9

Some $2 y^{2}$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 y^{2} - 2 + y^{2} + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.10

Some $2 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} - 2 + 2 y - 3}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.15.4.11

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 1]}$

Etapa 1.3.16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [1]}$

Etapa 1.3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [1]}$

Etapa 1.3.18

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.18.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]}$

Etapa 1.3.18.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]}$

Etapa 1.3.18.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2 + \frac{d}{d y} [1]}$

Etapa 1.3.19

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2 + 0}$

Etapa 1.3.20

Some $2 y - 2$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{y \to 1} 3 y^{2} + 2 y - 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} 3 y^{2} + lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{3 lim_{y \to 1} y^{2} + lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{y \to 1} y)}^{2} + lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{3 {(lim_{y \to 1} y)}^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{3 {(lim_{y \to 1} y)}^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} + 2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 + 2 - 1 \cdot 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 + 2 - 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $3$ e $2$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.2.7.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 1} 2 y - 2}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 1} 2 y - lim_{y \to 1} 2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\frac{0}{2 lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 2}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{2 lim_{y \to 1} y - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{y \to 1} \frac{3 y^{2} + 2 y - 5}{2 y - 2} = lim_{y \to 1} \frac{\frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 y - 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{y \to 1} \frac{\frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 y - 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y^{2} + 2 y - 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2 + \frac{d}{d y} [- 5]}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2 + 0}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.6

Some $6 y + 2$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{\frac{d}{d y} [2 y - 2]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 2.3.8

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 2.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 2.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{2 + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{2 + 0}$

Etapa 2.3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{y \to 1} \frac{6 y + 2}{2}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $6 y + 2$ e $2$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $2$ de $6 y$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (3 y) + 2}{2}$

Etapa 2.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 1}{2}$

Etapa 2.4.3

Fatore $2$ de $2 (3 y) + 2 (1)$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (3 y + 1)}{2}$

Etapa 2.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{y \to 1} \frac{2 (3 y + 1)}{2 (1)}$

Etapa 2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{y \to 1} \frac{2 (3 y + 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{y \to 1} \frac{3 y + 1}{1}$

Etapa 2.4.4.4

Divida $3 y + 1$ por $1$ .

$lim_{y \to 1} 3 y + 1$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $1$ .

$lim_{y \to 1} 3 y + lim_{y \to 1} 1$

Etapa 3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$3 lim_{y \to 1} y + lim_{y \to 1} 1$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $1$ .

$3 lim_{y \to 1} y + 1$

Etapa 4

Avalie o limite de $y$ substituindo $1$ por $y$ .

$3 \cdot 1 + 1$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 1$

Etapa 5.2

Some $3$ e $1$ .

$4$