Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (1)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \ln (1)}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.9.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + 1}$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Etapa 1.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 + x}{x}}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$