Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Etapa 1

Multiplique $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.3

A base do logaritmo $4$ de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Etapa 2.1.3.3

A base do logaritmo $2$ de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\log_{4} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\log_{2} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Etapa 2.5

Combine os fatores.

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Etapa 2.5.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Etapa 2.5.2

Combine $\frac{x}{x \ln (4)}$ e $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Etapa 3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Etapa 3.2.2

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$