Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x^{6}$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Etapa 2.2.2

Some $- 5 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{6} - 5 x^{3}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $x^{3} (x^{3} - 5)$ como $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ .

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Etapa 3.1.2.2

Adicione parênteses.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Etapa 3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Etapa 3.2

Mova o termo $- 5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 6.2

Some $1$ e $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 7.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Etapa 7.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.5

Fatore $x$ de $x^{4} - 5 x$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.5.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 11.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 12

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13

Avalie o limite.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 13.1.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 14

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 15

Avalie o limite.

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 15.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Etapa 15.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.4.1

Divida $1 - 5 \cdot 0$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Etapa 15.4.2

Divida $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Etapa 15.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.4.3.1

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Etapa 15.4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Etapa 15.4.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Etapa 15.4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 15.4.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Etapa 15.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$- 2.5$