Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\frac{x^{\frac{1}{5}}}{1}}$

Etapa 1

Divida $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2

Reescreva $x^{\frac{1}{5}}$ como $\sqrt[5]{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt[5]{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[5]{0}}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{0}{\sqrt[5]{0^{5}}}$

Etapa 3.1.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\sqrt[5]{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Etapa 3.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}}$

Etapa 3.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}}$

Etapa 3.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}}$

Etapa 3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}}$

Etapa 3.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}}$

Etapa 3.3.8.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}}$

Etapa 3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}}$

Etapa 3.3.10

Simplifique.

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Etapa 3.3.10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}}$

Etapa 3.3.10.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) (5 x^{\frac{4}{5}})$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$5 \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 4.4

Mova o expoente $\frac{4}{5}$ de $x^{\frac{4}{5}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$5 \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 \cos (0) \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$5 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Etapa 6.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Etapa 6.3

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 6.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.5.1

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão.

$5 \cdot 0^{4}$

Etapa 6.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 \cdot 0$

Etapa 6.7

Multiplique $5$ por $0$ .

$0$