Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Etapa 1

Avalie o limite de $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ por $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.2

Mova $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.3

Eleve $\sqrt{1 + t}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.4

Eleve $\sqrt{1 + t}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7

Reescreva ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ como $1 + t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.1.2.7.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + t}$ como ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.2

Reescreva $1 + t$ como ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.3

Deixe $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.4

Fatore $u$ de $u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.4.2

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.4.3

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

Etapa 2.5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

Etapa 2.6

Mova ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.7

Multiplique $1 + t$ por ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Mova ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

Etapa 2.7.2

Multiplique ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1 + t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Eleve $1 + t$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

Etapa 2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.7.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.7.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$