Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

Etapa 1

Reescreva $\tan (x) \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 2.1.3.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 2.1.3.1.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Etapa 2.1.3.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

Etapa 2.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Etapa 2.3.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.13

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.14

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.15

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.17

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18

Simplifique.

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Etapa 2.3.18.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.18.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18.1.2

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18.1.3

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18.1.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.18.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Etapa 3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Etapa 4.4

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Etapa 5.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \sin (2 \cdot 0)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \sin (0)$

Etapa 7.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$