Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} (\frac{1}{1 - x}) - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

Etapa 1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{1 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}})$

Etapa 1.2

Para escrever $- (\frac{1}{1 - x^{3}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - x) (1 - x^{3})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{1 - x}$ por $\frac{1 - x^{3}}{1 - x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - (\frac{1}{1 - x^{3}}) \cdot \frac{1 - x}{1 - x}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{1 - x^{3}}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x^{3}) (1 - x)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(1 - x^{3}) (1 - x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{3})} - \frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x^{3} - (1 - x)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $1 - x^{3} - (1 - x)$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1^{3} - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.2.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (1 - x) (1 - x^{3})}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} 1 - x^{3}}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Etapa 2.1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - lim_{x \to 1} x^{3})}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(1 - lim_{x \to 1} x) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{3})}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1^{3})}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.8.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1^{3})}$

Etapa 2.1.3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.1.3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{3} - (1 - x)}{(1 - x) (1 - x^{3})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x^{3} - (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{3} - (1 - x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (1 - x)]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- (1 - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 - x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 - x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} - - 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.5.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.6

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x^{3})]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{3}] + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- (3 x^{2})) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.13

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 2.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 2.3.15

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Etapa 2.3.16

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.17

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.19

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) + (1 - x^{3}) \cdot - 1}$

Etapa 2.3.20

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 - x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - 1 \cdot (1 - x^{3})}$

Etapa 2.3.21

Reescreva $- 1 (1 - x^{3})$ como $- (1 - x^{3})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{(1 - x) (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Etapa 2.3.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - (1 - x^{3})}$

Etapa 2.3.22.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{1 (- 3 x^{2}) - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.22.3.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} - x (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.22.3.3.1

Mova $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.22.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 \cdot 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 - - x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + 1 x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.6

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 3 x^{3} - 1 + x^{3}}$

Etapa 2.3.22.3.7

Some $3 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{- 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1}$

Etapa 2.3.22.4

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{2} + 1}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 3

Como a função se aproxima de $\infty$ a partir da esquerda e de $- \infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$