Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Etapa 1

Reescreva $(x^{2}) \cot (x^{2})$ como $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 2

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 3

Avalie o valor crítico esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 3.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 3.1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 3.1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 3.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Aplique identidades trigonométricas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1.1

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Etapa 3.1.1.3.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Etapa 3.1.1.3.1.3

Converta de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ em $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Etapa 3.1.1.3.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Etapa 3.1.1.3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Etapa 3.1.1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 3.1.1.3.4.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.3

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Etapa 3.1.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.6.1

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.6.2

Multiplique $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 3.1.3.7

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x^{2})$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.8.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.9

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.10

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.14.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.16

Multiplique $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.17

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.18

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.20

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.22.1

Fatore $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.22.1.1

Fatore $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22.1.2

Fatore $2 x$ de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22.2

Reorganize os termos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.3.22.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Etapa 3.1.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Etapa 3.1.5.2

Combine $x$ e $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Etapa 3.1.6

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Etapa 3.1.6.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Etapa 3.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Etapa 3.1.6.2.2

Divida $\cos^{2} (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Etapa 3.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Etapa 3.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Etapa 3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Etapa 3.4.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$

Etapa 4

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 5

Avalie o valor crítico direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 5.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 5.1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 5.1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Etapa 5.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1

Aplique identidades trigonométricas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.1.1

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Etapa 5.1.1.3.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Etapa 5.1.1.3.1.3

Converta de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ em $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Etapa 5.1.1.3.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Etapa 5.1.1.3.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Etapa 5.1.1.3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Etapa 5.1.1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 5.1.1.3.4.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.3

Reescreva $\cot (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.6.2

Multiplique $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Etapa 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.8.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.9

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.10

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.14.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.16

Multiplique $\sin (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.17

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.18

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.20

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.22.1

Fatore $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.22.1.1

Fatore $2 x$ de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22.1.2

Fatore $2 x$ de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22.2

Reorganize os termos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.3.22.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Etapa 5.1.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Etapa 5.1.5.2

Combine $x$ e $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Etapa 5.1.6

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Etapa 5.1.6.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Etapa 5.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Etapa 5.1.6.2.2

Divida $\cos^{2} (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Etapa 5.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Etapa 5.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Etapa 5.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Etapa 5.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Etapa 5.4.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 5.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$

Etapa 6

Como o valor crítico esquerdo é igual ao valor crítico direito, o limite é igual a $1$ .

$1$