Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 7

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 8

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Etapa 9

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0$ .

$0$

Etapa 10

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Etapa 11

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Etapa 12

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\sin (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $0$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

Etapa 13.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

Etapa 13.3

Some $0$ e $0$ .

$\sqrt{0} \cdot 0$

Etapa 13.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

Etapa 13.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0 \cdot 0$

Etapa 13.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$0$