Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Etapa 4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Etapa 5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Etapa 9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Etapa 10

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Etapa 11

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{2 π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Etapa 12

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $\sin (\frac{2 π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0$ .

$0$

Etapa 13

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Etapa 14

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (\frac{2 π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Etapa 15

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.4

Some $0$ e $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Etapa 16.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.7.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Etapa 16.7.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Etapa 16.8

Some $1$ e $0$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 16.9

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$