Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ como um produto.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 1.2

Escreva $\sin (4 x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Divida $\sin (4 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 1.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (4 x) \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $4$ . Portanto, o limite de $\sin (4 x) \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $4$ .

$4$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\sin (4 x) \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $4$ . Portanto, o limite de $\sin (4 x) \csc (x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $4$ .

$\sqrt{4}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Etapa 9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2$