Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Etapa 1

Mova o termo $5 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 5

Mova o termo $2 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 7

Mova o termo $\frac{5 π}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 9

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Etapa 11

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.3

Reescreva $\sec (0)$ em termos de senos e cossenos.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.5

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.7

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.9

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Etapa 13.1.11

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Etapa 13.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Etapa 13.3

Some $2 π$ e $0$ .

$5 π (2 π)$

Etapa 13.4

Multiplique $5 π (2 π)$ .

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Etapa 13.4.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 π π$

Etapa 13.4.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Etapa 13.4.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Etapa 13.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 π^{1 + 1}$

Etapa 13.4.5

Some $1$ e $1$ .

$10 π^{2}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$10 π^{2}$

Forma decimal:

$98.69604401 \dots$