Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{\ln (x - 1)}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (x - 1)}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{\ln (x - 1)}{\ln (x - 1)} - \frac{1}{\ln (x - 1)}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{\ln (x - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{\ln (x - 1)}{\ln (x - 1)} - \frac{1}{\ln (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) \ln (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (x - 1)}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x - 1)}{(x - 2) \ln (x - 1)} - \frac{1}{\ln (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x - 1)}{(x - 2) \ln (x - 1)} - \frac{x - 2}{\ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 2) \ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x - 1)}{\ln (x - 1) (x - 2)} - \frac{x - 2}{\ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x - 1) - (x - 2)}{\ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) - (x - 2)}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $\ln (x - 1) - (x - 2)$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\ln (2 - 1) - (2 - 2)}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\ln (1) - (2 - 2)}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0 - (2 - 2)}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 2)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (x - 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} x - 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 2.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 2)}$

Etapa 2.1.3.8.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x - 1) - (x - 2)}{\ln (x - 1) (x - 2)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) - (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) - (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x - 1) - (x - 2)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{d}{d x} [- (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x - 2)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 2)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.5

Combine os termos.

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Etapa 2.3.5.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.5.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 2)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x - 1)$ e $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.11

Multiplique $\ln (x - 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.3.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 2.3.12.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 2.3.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 2.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 2.3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.16

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{\ln (x - 1) + (x - 2) \frac{1}{x - 1}}$

Etapa 2.3.18

Reordene os termos.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}}{(x - 2) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x - 2) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1 - (x - 1)}{x - 1}$ por $\frac{1}{(x - 2) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x - 1) ((x - 2) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1))}$

Etapa 2.6

Multiplique $x - 2$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x - 1) (\frac{x - 2}{x - 1} + \ln (x - 1))}$

Etapa 2.7

Combine os termos.

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Etapa 2.7.1

Para escrever $\ln (x - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x - 1) (\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1})}$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x - 1) \frac{x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 3

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 3.1

Multiplique $x - 1$ por $\frac{x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{\frac{(x - 1) (x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1))}{x - 1}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{\frac{(x - 1) (x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1))}{x - 1}}$

Etapa 3.2.2

Divida $x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 1 - (x - 1)}{lim_{x \to 2} x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.2

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite de $1 - (x - 1)$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1 - (2 - 1)}{lim_{x \to 2} x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 2} \ln (x - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 2} \ln (x - 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 1}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 1}$

Etapa 4.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 1}$

Etapa 4.1.3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 2} x - 1}$

Etapa 4.1.3.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1)}$

Etapa 4.1.3.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.9

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1.3.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2 + \ln (2 - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2 + \ln (2 - 1 \cdot 1) \cdot (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.10.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2 + \ln (2 - 1 \cdot 1) \cdot (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.10.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 + \ln (2 - 1) \cdot (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.10.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{0}{2 - 2 + \ln (1) \cdot (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.10.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{2 - 2 + 0 \cdot (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 4.1.3.10.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 + 0 \cdot (2 - 1)}$

Etapa 4.1.3.10.1.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{0}{2 - 2 + 0 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.10.1.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 + 0}$

Etapa 4.1.3.10.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 4.1.3.10.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.10.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.11

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - (x - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x - 1)]$ .

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Etapa 4.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 + \ln (x - 1) (x - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 4.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x - 1) (x - 1)]$ .

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Etapa 4.3.9.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x - 1)$ e $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 4.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 4.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 4.3.9.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 4.3.9.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 4.3.9.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 4.3.9.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 4.3.9.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 4.3.9.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}$

Etapa 4.3.9.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}$

Etapa 4.3.9.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) (1 + 0) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.10

Multiplique $\ln (x - 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) + (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)}$

Etapa 4.3.9.12

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 1) + (x - 1) \frac{1}{x - 1}}$

Etapa 4.3.10

Simplifique.

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Etapa 4.3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + \ln (x - 1) + (x - 1) \frac{1}{x - 1}}$

Etapa 4.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{(x - 1) \frac{1}{x - 1} + 1 + \ln (x - 1)}$

Etapa 4.3.10.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 4.3.10.3.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{(x - 1) \frac{1}{x - 1} + 1 + \ln (x - 1)}$

Etapa 4.3.10.3.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{1 + 1 + \ln (x - 1)}$

Etapa 4.3.10.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 + \ln (x - 1)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} 2 + \ln (x - 1)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 2} 2 + \ln (x - 1)}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} \ln (x - 1)}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 1}{2 + lim_{x \to 2} \ln (x - 1)}$

Etapa 5.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1)}$

Etapa 5.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1)}$

Etapa 5.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (2 - 1)}$

Etapa 7.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (1)}$

Etapa 7.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Etapa 7.1.4

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$