Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \ln ({(x)}^{x - 1})$

Etapa 1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 1} {(x)}^{x - 1})$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x)}^{x - 1}$ como $e^{\ln ({(x)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 1} e^{\ln ({(x)}^{x - 1})})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(x)}^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{(x - 1) \ln (x)})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x)})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Etapa 3.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Use as regras logarítmicas para mover $(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)$ para fora do expoente.

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Etapa 5.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 \cdot 0 \ln (e)$

Etapa 5.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 \ln (e)$

Etapa 5.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 5.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$