Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 + \ln (x)}{x^{3} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2.5.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 + \ln (x)}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2} + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{3 x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 + x}{x}}{3 x^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 + x}{x}}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{1 + x}{x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{lim_{x \to 1} 1 + x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{1}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{1}}{1^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{1 \frac{1 + 1}{1}}{3 \cdot 1^{2}}$

Etapa 4.2

Divida $1 + 1$ por $1$ .

$\frac{1 (1 + 1)}{3 \cdot 1^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $1 + 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1}{3 \cdot 1^{2}}$

Etapa 4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 1}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$