Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3}) (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2})$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique o argumento do limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Multiplique $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2.3.3

Reordene os fatores de $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Etapa 1.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 1.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 2.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{4} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2}} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 3)}$

Etapa 2.1.3.8.5

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \sqrt{x + 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.12

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.14

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.4.15

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.3.13.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.13.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.13.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.14

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.15

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.17.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.17.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.19

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.20

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 2.3.21

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 2.3.23

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.24

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Etapa 2.3.25

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26

Simplifique.

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Etapa 2.3.26.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.26.2

Multiplique $x - 3$ por $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.3.26.3

Para escrever ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.4

Combine ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.26.6.1

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.26.6.1.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.2

Simplifique ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.6

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 3 + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.3.26.6.7

Some $- 3$ e $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Etapa 2.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.5.1

Reescreva ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Etapa 2.5.2

Reescreva ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Etapa 2.7

Reduza.

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Etapa 2.7.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) (\sqrt{x + 1})}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{x + 1}$ .

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Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \sqrt{x + 1}}$

Etapa 2.7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{3 x - 1}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 3} \frac{1}{3 x - 1}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $1$ de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 5.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8 \cdot 2}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{16}$

Forma decimal:

$- 0.0625$