Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} (\frac{1}{x - 2}) - \frac{3}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{3}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{3}{x^{2} - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{3}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x^{2} - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{3}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{3}{x^{2} - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{3 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 - 3 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 - 3 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 3 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 3 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4 - lim_{x \to 2} 3 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4 - 3 lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4 - 3 (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4 - 3 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4 - 3 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4 - 3 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 3 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4 - 3 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - 3 (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.1.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.1.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Etapa 2.1.3.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 - 3 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 - 3 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 - 3 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 - 3 (x - 2)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 (x - 2)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 (x - 2)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.6

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.10

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.11

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.12

Mova $2$ para a esquerda de $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 2.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Etapa 2.3.15

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.16

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Etapa 2.3.17

Multiplique $x^{2} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18

Simplifique.

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Etapa 2.3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.18.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Etapa 2.3.18.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 3}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Etapa 3

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$