Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} - \frac{1}{3}}{x + 4}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{13 + x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x + 4}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{13 + x} \cdot 3$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{13 + x}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{\sqrt{13 + x} \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{\sqrt{13 + x} \cdot 3} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $\sqrt{13 + x} \cdot 3$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{3 \sqrt{13 + x}} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 3 - \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 3 - lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + lim_{x \to - 4} x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.1.5

Avalie o limite de $13$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{13 - 4}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Subtraia $4$ de $13$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 3.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie o limite de $13$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 3.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot (lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4)}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie os limites substituindo $- 4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 - 4} \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

Etapa 3.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 - 4} \cdot (- 4 + 4)}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.8.1

Subtraia $4$ de $13$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{9} \cdot (- 4 + 4)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{3^{2}} \cdot (- 4 + 4)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (- 4 + 4)}$

Etapa 3.1.3.8.4

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.8.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x} (x + 4)} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \sqrt{13 + x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13 + x}$ como ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 13 + x$ .

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Etapa 3.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $13 + x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $13 + x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.5

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.12

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.14

Multiplique $\frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.4.15

Mova ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13 + x}$ como ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (x + 4)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 4$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.12

Multiplique ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 13 + x$ .

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Etapa 3.3.13.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $13 + x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.13.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.13.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $13 + x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.14

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.15

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.17.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.17.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.19

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.20

Mova ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

Etapa 3.3.21

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.22

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.23

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.24

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Etapa 3.3.25

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26

Simplifique.

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Etapa 3.3.26.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{(x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.26.2

Multiplique $x + 4$ por $\frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.26.3

Para escrever ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.4

Combine ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.26.6.1

Multiplique ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.26.6.1.1

Mova ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.2

Simplifique ${(13 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + (13 + x) \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 13 \cdot 2 + x \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.4

Multiplique $13$ por $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 26 + x \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 26 + 2 \cdot x}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.6

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 4 + 26}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.7

Some $4$ e $26$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 30}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.8

Fatore $3$ de $3 x + 30$ .

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Etapa 3.3.26.6.8.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 (x) + 30}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.8.2

Fatore $3$ de $30$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 3 \cdot 10}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.3.26.6.8.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 (x + 10)}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 (x + 10)}$

Etapa 3.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.5.1

Reescreva ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{13 + x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 (x + 10)}$

Etapa 3.5.2

Reescreva ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{13 + x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10)}$

Etapa 3.6

Combine os fatores.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10)}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{13 + x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \cdot 2 \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{6 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7

Reduza.

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 3.7.1.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{13 + x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 (\sqrt{13 + x})}{6 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.1.2.1

Fatore $2$ de $6 (x + 10) \sqrt{13 + x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 (\sqrt{13 + x})}{2 \cdot 3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{2 \cdot 3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{13 + x}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

Etapa 3.7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{3 (x + 10)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to - 4} \frac{1}{3 (x + 10)}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{1}{x + 10}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 10}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

Etapa 6.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot \frac{1}{- 4 + 10}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{- 4 + 10}$

Etapa 6.4

Some $- 4$ e $10$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 6.5

Multiplique $- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Etapa 6.5.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 9}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $6$ por $9$ .

$- \frac{1}{54}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{54}$

Forma decimal:

$- 0.0\overline{185}$