Cálculo Exemplos

$\frac{e^{2 x}}{2 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{2 x}}{2 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine frações.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Etapa 5.3

Fatore $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x - e^{2 x}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Etapa 5.3.2

Fatore $e^{2 x}$ de $- e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2 x^{2}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2 x^{2}}$