Cálculo Exemplos

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 x + 1)}^{- 1}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$3 \cdot {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0))$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $2$ e $0$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2)$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- 2 {(2 x + 1)}^{- 2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 2} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x) - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.5.2

Combine $- 3$ e $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.5.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.5.4

Combine $\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + 1 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Etapa 5.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 \frac{1}{2 x + 1}$

Etapa 5.2.9

Combine $3$ e $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1}$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{3}{2 x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${(2 x + 1)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{3}{2 x + 1}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1) + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.8

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{0 + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.9

Some $0$ e $3$ .

$\frac{3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.10

Some $3$ e $2$ .

$\frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}}$