Cálculo Exemplos

${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$ como $e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})$ movendo $b x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

Etapa 3

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + \frac{a}{x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{a}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.5

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{a}{x}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.6

Combine frações.

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Etapa 6.6.1

Combine $a$ e $\frac{x}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.6.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.8

Combine $\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{- 2}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x)}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 7.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $x$ .

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Etapa 7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 7.3

Some $- 2$ e $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 8

Mova $x^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot 1))$

Etapa 10

Multiplique $\ln (1 + \frac{a}{x})$ por $1$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x})))$

Etapa 11

Para escrever $\ln (1 + \frac{a}{x})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

Etapa 12

Combine $\ln (1 + \frac{a}{x})$ e $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x})$

Etapa 14

Combine $b$ e $\frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Etapa 15

Combine $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ e $\frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ .

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

Etapa 16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.4.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 16.4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + a)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) x + \ln (1 + \frac{a}{x}) a))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b \ln (1 + \frac{a}{x}) x + b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.4.4

Reordene os fatores em $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{1 x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.5

Combine os termos.

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Etapa 16.5.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a}{x} x}$

Etapa 16.5.2

Combine $\frac{a}{x}$ e $x$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

Etapa 16.5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 16.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

Etapa 16.5.3.2

Divida $a$ por $1$ .

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + a}$

Etapa 16.6

Reordene os termos.

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Etapa 16.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.7.1

Fatore $b$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Etapa 16.7.1.1

Fatore $b$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Etapa 16.7.1.2

Fatore $b$ de $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

Etapa 16.7.1.3

Fatore $b$ de $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.1.4

Fatore $b$ de $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}))$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.1.5

Fatore $b$ de $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2

Fatore $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x})$ .

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Etapa 16.7.2.1

Reordene a expressão.

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Etapa 16.7.2.1.1

Reordene $1$ e $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.2

Mova $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.3

Reordene $1$ e $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.4

Reordene $1$ e $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.5

Reordene $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ e $x$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.6

Reordene $1$ e $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.7

Reordene $1$ e $\frac{a}{x}$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.1.8

Reordene $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ e $a$ .

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.2

Fatore $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.3

Fatore $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.4

Fatore $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ de $a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.5

Fatore $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ de $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1))$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

Etapa 16.7.2.6

Fatore $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ de $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1))$ .

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.7.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

Etapa 16.7.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.7.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.8

Fatore $- 1$ de $- a$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.9

Fatore $- 1$ de $x \ln (\frac{a + x}{x})$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.10

Fatore $- 1$ de $- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.11

Fatore $- 1$ de $a \ln (\frac{a + x}{x})$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Etapa 16.12

Fatore $- 1$ de $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Etapa 16.13

Reescreva $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ como $- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ .

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

Etapa 16.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

Etapa 16.15

Reordene os fatores em $- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$ .

$- \frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$