Cálculo Exemplos

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{u}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ é $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ como ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Reescreva $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ é $f' (g (u)) g' (u)$ , em que $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ e $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 7.2.2

Mova ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ é $f' (g (u)) g' (u)$ , em que $f (u) = u^{2}$ e $g (u) = \frac{u}{2}$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Combine $2$ e $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $\frac{u}{2}$ em relação a $u$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.6

Multiplique $\frac{u}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

Etapa 9.7

Como $- 1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 1$ em relação a $u$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

Etapa 9.8

Combine frações.

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Etapa 9.8.1

Some $\frac{u}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

Etapa 9.8.2

Multiplique $\frac{u}{2}$ por $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 9.8.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a regra do produto a $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$