Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

Etapa 2

Reescreva $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ como um produto.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Etapa 3

Escreva $\sin (t)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Divida $\sin (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Etapa 4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (2 t)}$ em $\csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \csc (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 6.2

A derivada de $\csc (u)$ em relação a $u$ é $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 7.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 8

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $\sin (t)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.3

Combine $\csc (2 t)$ e $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.4

Combine $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ e $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 9.2.5.1

Fatore $2$ de $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.5.2.4

Divida $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ por $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Etapa 9.2.6

Combine $\csc (2 t)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

Etapa 9.2.7

Combine $\frac{\csc (2 t)}{2}$ e $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1

Reescreva $\cot (2 t)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.2

Reescreva $\csc (2 t)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.3

Multiplique $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (2 t)}$ por $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.3.2

Eleve $\sin (2 t)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.3.3

Eleve $\sin (2 t)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.4

Combine $\sin (t)$ e $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.5

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.4.6.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 9.4.6.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.6.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.4.7.1

Fatore $\sin (t)$ de $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.7.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.7.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.8

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.9

Reescreva $\csc (2 t)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

Etapa 9.4.10

Combine $\frac{1}{\sin (2 t)}$ e $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

Etapa 9.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.11.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Etapa 9.4.11.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 9.4.11.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Etapa 9.4.11.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

Etapa 9.4.12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 9.4.13

Multiplique $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 9.4.13.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sin (t)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

Etapa 9.4.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.5.1

Separe as frações.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.2

Reescreva $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ como um produto.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.3

Escreva $\cos (2 t)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.4

Simplifique.

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Etapa 9.5.4.1

Divida $\cos (2 t)$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.4.2

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.5

Multiplique por $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.6

Separe as frações.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.7

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ em $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.9

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.10

Multiplique $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

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Etapa 9.5.10.1

Combine $\cos (2 t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.10.2

Combine $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Etapa 9.5.11

Separe as frações.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Etapa 9.5.12

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

Etapa 9.5.13

Combine $\frac{1}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$