Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \sin (4 t - \frac{π}{4})$ e $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (4 t - \frac{π}{4})] - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 4 t - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 t - \frac{π}{4}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.5

Como $- \frac{π}{4}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{π}{4}$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + 0)) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 4) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 t - \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cdot \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 1}{t^{2}}$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$ .

$\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$

Etapa 4.8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 t \cos (4 t - \frac{π}{4}) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$