Cálculo Exemplos

$9 \sqrt{t} e^{t} + t$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 \sqrt{t} e^{t} + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = e^{t}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.12

Combine $e^{t}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.13

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 1$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t}) + 9 \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Etapa 4.2

Combine $9$ e $\frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$9 e^{t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$