Cálculo Exemplos

$\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1000$ e $2 t + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $1000$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 2 (3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (t) + 2 (3)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d t} [\frac{500}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.2

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{500}{t + 3}$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{t + 3}$ como ${(t + 3)}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t + 3$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t + 3$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.7

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.8

Some $1$ e $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $500$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 2000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ em relação a $t$ é $- 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}$ como ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [{({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(2 t + 6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2 t + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6])))$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])))$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])))$

Etapa 3.8

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 3.9

Multiplique os expoentes em ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{2 \cdot - 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 3.9.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 + 0)))$

Etapa 3.11

Some $2$ e $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) \cdot 2))$

Etapa 3.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (4 (2 t + 6)))$

Etapa 3.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 4} (2 t + 6))$

Etapa 3.14

Eleve $2 t + 6$ à potência de $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 ({(2 t + 6)}^{1} {(2 t + 6)}^{- 4}))$

Etapa 3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{1 - 4})$

Etapa 3.16

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 3})$

Etapa 3.17

Multiplique $- 4$ por $- 2000$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Combine $- 500$ e $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Etapa 4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Etapa 4.3.3

Combine $8000$ e $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Etapa 4.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Fatore $2$ de $2 t + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t) + 6)}^{3}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 2 \cdot 3)}^{3}}$

Etapa 4.4.1.1.3

Fatore $2$ de $2 t + 2 \cdot 3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t + 3))}^{3}}$

Etapa 4.4.1.2

Aplique a regra do produto a $2 (t + 3)$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{2^{3} {(t + 3)}^{3}}$

Etapa 4.4.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $8000$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $8$ de $8000$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Fatore $8$ de $8 {(t + 3)}^{3}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 ({(t + 3)}^{3})}$

Etapa 4.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Etapa 4.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{1000}{{(t + 3)}^{3}}$