Cálculo Exemplos

$\cos (x) (2 x^{3} - \sin (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x^{3} - \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - \sin (x)] + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\cos (x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\cos (x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) (6 x^{2}) - {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.3.7

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.3.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Etapa 5.3.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Etapa 5.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 5.3.11

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$6 x^{2} \cos (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$