Cálculo Exemplos

$x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.13

Combine $4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.15

Fatore $2$ de $4$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.16.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.16.2

Cancele o fator comum.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.16.3

Reescreva a expressão.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.17

Combine $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.18

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{2 \cdot \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.19

Combine $x$ e $\frac{2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.20

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 2.21.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.21.5

Some $- 1$ e $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 2.22

Multiplique $\tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [14]$

Etapa 3

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Some $x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$2 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$