Cálculo Exemplos

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Eleve $22 - 2 x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Etapa 1.2

Eleve $22 - 2 x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Etapa 1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Etapa 1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 22 - 2 x$ .

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Etapa 1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Diferencie.

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Etapa 1.7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $22 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Como $22$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $22$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.7.9

Multiplique ${(22 - 2 x)}^{2}$ por $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3

Combine os termos.

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Etapa 1.8.3.1

Multiplique $- 4$ por $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.2

Mova $- 88$ para a esquerda de $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.3.7

Some $1$ e $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Etapa 1.8.4

Reordene os termos.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Etapa 1.8.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.5.1

Reescreva ${(22 - 2 x)}^{2}$ como $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.2

Expanda $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.8.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.8.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.5.3.1.1

Multiplique $22$ por $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.3

Multiplique $22$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.8.5.3.1.5.1

Mova $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Etapa 1.8.5.3.2

Subtraia $44 x$ de $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Etapa 1.8.6

Some $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Etapa 1.8.7

Subtraia $88 x$ de $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} + 484 - 176 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Etapa 2.3

Como $484$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $484$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 176$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 176 x$ em relação a $x$ é $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 176$ por $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Etapa 2.5

Some $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x - 176$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 176$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 176$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $24$ e $0$ .

$f''' (x) = 24$

Etapa 4

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$