Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 11)}^{2} (x - 11)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 11)}^{2}$ e $g (x) = x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 11] + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.2.3

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + 0) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \cdot 1 + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 11)}^{2}$ por $1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 \cdot (x - 11) (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Etapa 1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + \frac{d}{d x} [11])$

Etapa 1.4.4

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + 0)$

Etapa 1.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x)$

Etapa 1.4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 4 (x - 11) (x^{2} + 11) x$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 11) (x^{2} + 11) x$

Etapa 1.5.2

Multiplique $4$ por $- 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Etapa 1.5.3

Fatore $x^{2} + 11$ de ${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $x^{2} + 11$ de ${(x^{2} + 11)}^{2}$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $x^{2} + 11$ de $(4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $x^{2} + 11$ de $(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + (4 x - 44) x)$

Etapa 1.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x \cdot x - 44 x)$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.4.2.1

Mova $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 (x \cdot x) - 44 x)$

Etapa 1.5.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x^{2} - 44 x)$

Etapa 1.5.5

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$

Etapa 1.5.6

Expanda $(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.2.3

Some $2$ e $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.3

Mova $11$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 11 \cdot x^{2} + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{2} x + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.7.5.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x \cdot x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.7.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x^{1} x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{1 + 2} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.5.3

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.6

Multiplique $5$ por $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.7

Multiplique $11$ por $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 + 11 (- 44 x)$

Etapa 1.5.7.8

Multiplique $- 44$ por $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 - 484 x$

Etapa 1.5.8

Some $11 x^{2}$ e $55 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 44$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 44 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 44$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [66 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $66$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $66 x^{2}$ em relação a $x$ é $66 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 (2 x) + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $66$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.5

Como $121$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $121$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $- 484$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 484 x$ em relação a $x$ é $- 484 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \cdot 1$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 484$ por $1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484$

Etapa 2.7

Some $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 132 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 132$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 132 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 132 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} - 132 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 x^{2} - 132 (2 x) + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 132$ .

$60 x^{2} - 264 x + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [132 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $132$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $132 x$ em relação a $x$ é $132 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $132$ por $1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- 484$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 484$ em relação a $x$ é $0$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $60 x^{2} - 264 x + 132$ e $0$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 264 x + 132$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{2} - 264 x + 132$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 264 x]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 264$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 264 x$ em relação a $x$ é $- 264 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x - 264 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$120 x - 264 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 264$ por $1$ .

$120 x - 264 + \frac{d}{d x} [132]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Como $132$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $132$ em relação a $x$ é $0$ .

$120 x - 264 + 0$

Etapa 4.4.2

Some $120 x - 264$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x - 264$