Cálculo Exemplos

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = a + b$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + b$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.4

Como $b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $b$ em relação a $a$ é $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- {(a - b)}^{4}$ em relação a $a$ é $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = a - b$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a - b$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Etapa 1.3.5

Como $- b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- b$ em relação a $a$ é $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Etapa 1.3.6

Some $1$ e $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 1.3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Etapa 1.3.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Fatore $4$ de $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $4$ de $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Fatore $4$ de $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Etapa 1.4.1.3

Fatore $4$ de $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1

Use o teorema binomial.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Etapa 1.4.2.2

Use o teorema binomial.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.3

Aplique a regra do produto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.7

Aplique a regra do produto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Etapa 1.4.2.3.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Etapa 1.4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Etapa 1.4.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Etapa 1.4.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Etapa 1.4.2.5.3

Multiplique $- - b^{3}$ .

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Etapa 1.4.2.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Etapa 1.4.2.5.3.2

Multiplique $b^{3}$ por $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Etapa 1.4.2.6

Remova os parênteses.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Etapa 1.4.3

Combine os termos opostos em $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Subtraia $a^{3}$ de $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Etapa 1.4.3.2

Some $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ e $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Etapa 1.4.3.3

Subtraia $3 a b^{2}$ de $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Etapa 1.4.3.4

Some $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ e $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Etapa 1.4.4

Some $3 a^{2} b$ e $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Etapa 1.4.5

Some $b^{3}$ e $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Etapa 1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Etapa 1.4.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Etapa 1.4.8

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Etapa 2.1.2

Como $8 b^{3}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $8 b^{3}$ em relação a $a$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24 b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $24 a^{2} b$ em relação a $a$ é $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$0 + 48 b a$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Some $0$ e $48 b a$ .

$48 b a$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $48 b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $48 a b$ em relação a $a$ é $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Etapa 4

Como $48 b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $48 b$ em relação a $a$ é $0$ .

$f^{4} (a) = 0$