Cálculo Exemplos

$x^{n}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $n$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $n x^{n - 1}$ em relação a $x$ é $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $n ((n - 1) x^{n - 2})$ .

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $n (n - 1)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{n - 2} n (n - 1)$ em relação a $x$ é $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Etapa 3.3

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2.2

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Etapa 3.4.2.6

Reescreva $- 1 n$ como $- n$ .

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Etapa 3.4.3

Reordene os fatores de $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ .

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $(n - 2) (n^{2} - n)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ em relação a $x$ é $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Etapa 4.3.2

Reordene os fatores de $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$