Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1}$

Etapa 1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{25} 2^{i} - 2^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{25} 2^{i} + \sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{25} 2^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2.2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2^{i + 1}$ e $2^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$r = 2$

Etapa 2.3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $1$ por $i$ em $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Etapa 2.3.2

Avalie o expoente.

$a = 2$

Etapa 2.4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$2 \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $25$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $33554432$ .

$2 \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.5.1.3

Subtraia $33554432$ de $1$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (\frac{- 33554431}{- 1})$

Etapa 2.5.3

Divida $- 33554431$ por $- 1$ .

$2 \cdot 33554431$

Etapa 2.5.4

Multiplique $2$ por $33554431$ .

$67108862$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{25} - 2^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 3.2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{- 2^{i + 1 - 1}}{- 2^{i - 1}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $2^{i + 1 - 1}$ e $2^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Fatore $2^{i - 1}$ de $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 3.2.2.2.2.4

Divida $2^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 3.2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Etapa 3.2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Etapa 3.2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Etapa 3.2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = 2^{1}$

Etapa 3.2.2.7

Avalie o expoente.

$r = 2$

Etapa 3.3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua $1$ por $i$ em $- 2^{i - 1}$ .

$a = - 2^{1 - 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = - 2^{0}$

Etapa 3.3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a = - 1$

Etapa 3.4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$- \frac{1 - 2^{25}}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $25$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $33554432$ .

$- \frac{1 - 33554432}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.3

Subtraia $33554432$ de $1$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 33554431}{1 - 2}$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{- 33554431}{- 1}$

Etapa 3.5.3

Divida $- 33554431$ por $- 1$ .

$- 1 \cdot 33554431$

Etapa 3.5.4

Multiplique $- 1$ por $33554431$ .

$- 33554431$

Etapa 4

Adicione os resultados das somas.

$67108862 - 33554431$

Etapa 5

Subtraia $33554431$ de $67108862$ .

$33554431$