Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{2 x^{2} + 9}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 4

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 5

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 6

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Etapa 9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Etapa 11

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Etapa 12.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $8$ por $8^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.2.1

Multiplique $8$ por $8^{3}$ .

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Etapa 13.1.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1} \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1 + 3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{4} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.3

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.5

Some $4096$ e $4096$ .

$\frac{\sqrt{8192 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.6

Subtraia $9$ de $8192$ .

$\frac{\sqrt{8183}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.7

Reescreva $8183$ como $7^{2} \cdot 167$ .

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Etapa 13.1.7.1

Fatore $49$ de $8183$ .

$\frac{\sqrt{49 (167)}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.7.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 64 + 9}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{128 + 9}$

Etapa 13.2.3

Some $128$ e $9$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Forma decimal:

$0.66029150 \dots$