Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.6.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 1.3.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.6.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Etapa 1.3.6.1.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \sin (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (6 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.6

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 \cos (6 x))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \tan (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (6 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}$

Etapa 3.7.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Etapa 3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Etapa 3.7.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1))}$

Etapa 3.7.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \cdot 6)}$

Etapa 3.7.6

Mova $6$ para a esquerda de $\sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (6 \sec^{2} (6 x))}$

Etapa 3.7.7

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $6 - 6 \cos (6 x)$ e $6 - 6 \sec^{2} (6 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 4.2

Fatore $6$ de $- 6 \cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) + 6 (- \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 4.3

Fatore $6$ de $6 (1) + 6 (- \cos (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 4.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 4.4.2

Fatore $6$ de $- 6 \sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 + 6 (- \sec^{2} (6 x))}$

Etapa 4.4.3

Fatore $6$ de $6 (1) + 6 (- \sec^{2} (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Etapa 4.4.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Etapa 4.4.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.1.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Etapa 5.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (6 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}}$

Etapa 5.1.3.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Etapa 5.1.3.1.5

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) + 1}$

Etapa 5.1.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0)) + 1}$

Etapa 5.1.3.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.1.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0) - 1)}$

Etapa 5.1.3.3.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{0}{- \tan^{2} (6 \cdot 0)}$

Etapa 5.1.3.3.6

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Etapa 5.1.3.3.7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Etapa 5.1.3.3.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 6 \sin (6 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.4.7

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.5

Some $0$ e $6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sec^{2} (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (6 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]}$

Etapa 5.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (6 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Etapa 5.3.8.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Etapa 5.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Etapa 5.3.8.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Etapa 5.3.8.3.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Etapa 5.3.8.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Etapa 5.3.8.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])))}$

Etapa 5.3.8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)))}$

Etapa 5.3.8.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6))}$

Etapa 5.3.8.7

Mova $6$ para a esquerda de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (6 \cdot (\sec (6 x) \tan (6 x))))}$

Etapa 5.3.8.8

Multiplique $6$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x)))}$

Etapa 5.3.8.9

Eleve $\sec (6 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec (6 x)) \tan (6 x))}$

Etapa 5.3.8.10

Eleve $\sec (6 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec^{1} (6 x)) \tan (6 x))}$

Etapa 5.3.8.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 {\sec (6 x)}^{1 + 1} \tan (6 x))}$

Etapa 5.3.8.12

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x))}$

Etapa 5.3.8.13

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Subtraia $12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.2

Reescreva $\sec (6 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 {(\frac{1}{\cos (6 x)})}^{2} \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.5

Combine $- 12$ e $\frac{1}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{- 12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Etapa 5.3.9.7

Reescreva $\tan (6 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}$

Etapa 5.3.9.8

Multiplique $- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.8.1

Multiplique $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ por $\frac{12}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Etapa 5.3.9.8.2

Multiplique $\cos (6 x)$ por $\cos^{2} (6 x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.8.2.1

Multiplique $\cos (6 x)$ por $\cos^{2} (6 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.8.2.1.1

Eleve $\cos (6 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Etapa 5.3.9.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{{\cos (6 x)}^{1 + 2}}}$

Etapa 5.3.9.8.2.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{3} (6 x)}}$

Etapa 5.3.9.9

Mova $12$ para a esquerda de $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12 \sin (6 x)}{\cos^{3} (6 x)}}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) (- \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)})$

Etapa 5.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Etapa 5.5.2

Combine $\frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$ e $- 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)} \sin (6 x)$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)}$ e $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Etapa 5.6

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Fatore $6$ de $\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{12 \sin (6 x)}$

Etapa 5.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Fatore $6$ de $12 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Etapa 5.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Etapa 5.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $\sin (6 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1}{2}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x) \cdot - 1$

Etapa 6.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x)$

Etapa 6.3

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (6 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (6 x))}^{3}$

Etapa 6.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 6 x)$

Etapa 6.5

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Etapa 8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Etapa 8.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Etapa 8.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Etapa 8.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 8.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$