Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.9

Multiplique $\cos (3 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.10

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.11.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Etapa 3.14

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Etapa 3.15

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Etapa 3.16

Multiplique $5$ por $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 10

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 12

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 14

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.1.7

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 16.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Etapa 16.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 16.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 16.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 16.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$