Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.2.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.5.2.6.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.6.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.6.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.2.6.5

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.5

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.5.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5.5.2.4

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Etapa 4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos (0)$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$