Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\tan (10 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (10 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.6

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.7

Multiplique $8$ por $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Etapa 3.9

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \cdot 1)}$

Etapa 3.11

Multiplique $10$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \cdot 10}$

Etapa 3.12

Mova $10$ para a esquerda de $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \cdot \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 3.13

Multiplique $10$ por $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $8$ e $10$ .

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $8 \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $10 \sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (8 x)}{5 \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{4}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (10 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (10 x))}^{2}}$

Etapa 10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Etapa 11

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Combine.

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 \sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Etapa 13.2

Fatore $\sec (10 \cdot 0)$ de $\sec^{2} (10 \cdot 0)$ .

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 (\sec (10 \cdot 0) \sec (10 \cdot 0))}$

Etapa 13.3

Separe as frações.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec (10 \cdot 0)}$

Etapa 13.4

Reescreva $\sec (10 \cdot 0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}}$

Etapa 13.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}$ .

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Etapa 13.6

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Etapa 13.7

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (10 \cdot 0))$

Etapa 13.8

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 13.9

Separe as frações.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 13.10

Reescreva $\sec (0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 13.11

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{4}{5} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 13.12

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 13.13

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos (0)$ somando os expoentes.

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Etapa 13.13.1

Mova $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Etapa 13.13.2

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Etapa 13.14

Multiplique $\cos^{2} (0)$ por $\cos (0)$ somando os expoentes.

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Etapa 13.14.1

Mova $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Etapa 13.14.2

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos^{2} (0)$ .

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Etapa 13.14.2.1

Eleve $\cos (0)$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{5} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Etapa 13.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{5} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Etapa 13.14.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4}{5} \cos^{3} (0)$

Etapa 13.15

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot 1^{3}$

Etapa 13.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{5} \cdot 1$

Etapa 13.17

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $1$ .

$\frac{4}{5}$