Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

Etapa 1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.6

Reordene os fatores de $\sec^{2} (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

Etapa 3.13

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Etapa 5

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Etapa 7

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (π x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Etapa 9

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 11

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.5

Some $0$ e $1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 13.6

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$