Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ movendo $2 x + 1$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Etapa 2.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Etapa 2.11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

Etapa 2.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

Etapa 2.13

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4.2

Some $16$ e $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Etapa 4.3

Simplifique $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ movendo $17$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Etapa 4.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $2$ por $8$ .

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Etapa 4.5.3

Subtraia $3$ de $16$ .

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $2$ por $8$ .

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

Etapa 4.6.2

Some $16$ e $5$ .

${(\frac{13}{21})}^{17}$

Etapa 4.7

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{21}$ .

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

Etapa 4.8

Eleve $13$ à potência de $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

Etapa 4.9

Eleve $21$ à potência de $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

Etapa 4.10

Cancele o fator comum de $8650415919381340000$ e $30041942495081700000000$ .

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Etapa 4.10.1

Fatore $20000$ de $8650415919381340000$ .

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

Etapa 4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.10.2.1

Fatore $20000$ de $30041942495081700000000$ .

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Etapa 4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Etapa 4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$