Cálculo Exemplos

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ como $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ .

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2

Expanda $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Etapa 1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Etapa 1.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 1.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 1.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

Etapa 1.3.1.2.5

Simplifique.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $\sqrt{x} x$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 1.3.3

Some $x \sqrt{x}$ e $x \sqrt{x}$ .

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Etapa 2.5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.6

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

Etapa 2.6.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

Etapa 2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

Etapa 2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

Etapa 2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

Etapa 2.6.5

Some $1$ e $2$ .

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$