Cálculo Exemplos

$\int \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} d x$

Etapa 1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\int \frac{(x + 3) (x + 3)}{x + 2} d x$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x (x + 3) + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 5

Reordene $x$ e $3$ .

$\int \frac{x \cdot x + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x^{1} x + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{1 + 1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9}{x + 2} d x$

Etapa 10

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\int \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 2} d x$

Etapa 11

Divida $x^{2} + 6 x + 9$ por $x + 2$ .

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Etapa 11.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$6 x$

$9$

Etapa 11.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Etapa 11.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 11.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 11.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$

Etapa 11.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Etapa 11.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Etapa 11.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					+	$4 x$	+	$8$

Etapa 11.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 8$ .

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$

Etapa 11.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$
							+	$1$

Etapa 11.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x + 4 + \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 15

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 15.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 15.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 15.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 15.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 15.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 15.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 15.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \ln (| u |) + C$

Etapa 17

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| u |) + C$

Etapa 18

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x + 2 |) + C$