Cálculo Exemplos

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ como $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ .

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2

Expanda $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{a}$ à potência de $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{a}$ à potência de $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{a}}^{2}$ como $a$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{a}$ como $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.2.5

Simplifique.

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Etapa 1.3.1.6.2

Multiplique $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Etapa 1.3.1.6.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Etapa 1.3.1.6.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Etapa 1.3.1.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.3.1.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Etapa 1.3.1.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.3.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Etapa 1.3.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Etapa 1.3.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 1.3.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Etapa 1.3.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Etapa 1.3.1.7.5

Simplifique.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Etapa 1.3.2

Subtraia $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{x a}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Reordene $x$ e $a$ .

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Etapa 4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Etapa 5

Deixe $u = a x$ . Depois, $d u = a d x$ , então, $\frac{1}{a} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = a x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 5.1.2

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $a$ por $1$ .

$a$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Etapa 6

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{a}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{a}$ para fora da integral.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{a}$ e $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Etapa 8.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Etapa 8.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$