Cálculo Exemplos

$\int \ln ({(x)}^{8}) \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1

Combine $\ln ({(x)}^{8})$ e $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{\ln (x^{8})}{x} d x$

Etapa 2

Reescreva $\frac{\ln (x^{8})}{x}$ como $\frac{8 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{8 \ln (x)}{x} d x$

Etapa 3

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int u d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $8 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$8 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} u^{2} + C$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} u^{2} + C$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} u^{2} + C$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} u^{2} + C$

Etapa 6.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 u^{2} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$4 \ln^{2} (x) + C$